Эратосфен

Содержание:

Эратосфен (276 г. до н.э. — 194 г. до н.э.) был древнегреческим ученым и философом, который работал в области астрономии, геометрии, географии, математики, а также поэзии и истории. Он прославился тем, что первым со значительной точностью вычислил окружность Земли.

Он жил в Афинах, пока Птолемей Эвергет, царь Египта, не поручил Эратосфену управлять Александрийской библиотекой, которая стала важнейшим центром знаний в регионе.

Его звали Пентатлос — титул, который давали победителям в пяти тестах Олимпийских игр, потому что он посвятил себя развитию всех областей знаний.

Он создал метод, названный Решетом Эратосфена, с помощью которого он вычислял простые числа. Также он пытался определить наклон эклиптики.

Для вычисления окружности Земли Эратосфен использовал метод, который использовался до наших дней, он заключается в измерении меридиана. Он установил размер окружности в 252 000 стадий, что составляет примерно 39 691 километр.

Изучая Землю, Эратосфен известен как «отец географии». Он опубликовал книгу, которую назвал ГеографияИменно там он впервые ввел термин география. В тексте он описал обитаемую землю и людей, которые на ней жили.

Он не использовал мифологические описания, которые были распространены в то время, но полагался на военные тексты для выполнения своей работы.

Он также составил таблицу с хронологией египетских царей Фив, написал о завоеваниях Александра Македонского и описал тогдашнюю Грецию. За вклад в философию Эратосфена называли вторым Платоном.

Эратосфен был любителем театра и написал серию из двенадцати книг, которые назвал Старая комедия. Таким же образом он писал стихи, и его темы включали рассказы о созвездиях.

Содержание

• Слайд 1

  Стеценко Олеся
  6 «А»
  Решето Эратосфена

• Слайд 2

  Одной из самых больших загадок математики является расположение простых чисел в ряду всех натуральных чисел. Иногда два простых числа идут через одно, (например, 17 и 19, 29 и 31), а иногда подряд идет миллион составных чисел. Сейчас ученые знают уже довольно много о том, сколько простых чисел содержится среди N первых натуральных чисел. В этих подсчетах весьма полезным оказался метод, восходящий еще к древнегреческому ученому Эратосфену Киренскому. Он жил в третьем веке до новой эры в Александрии.

• Слайд 3

  (Eratosthenes, 276-194 г. до н. э.), греческий ученый, который первым вычислил окружность Земли, пользуясь методами геометрии. Он был чрезвычайно любознательным человеком. Прославился своими работами по математике, географии, философии и литературе. Заведовал Александрийской библиотекой в Египте (одной из первых библиотек в мире).

  ЭРАТОСФЕН

• Слайд 4

  Книги в то время представляли собой не книги в нашем понимании этого слова, а папирусные свитки.В знаменитой библиотеке хранилось более 700 000 свитков, которые содержали все сведения о мире, известные людям той эпохи. При содействии своих помощников Эратосфен первым рассортировал свитки по темам.

  Он дожил до глубокой старости. Когда он ослеп от старости, то перестал есть и умер от голода. Он не представлял себе жизни без возможности работать со своими любимыми книгами.

• Слайд 5

  В математике Эратосфена интересовал вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до .
  (Эратосфен считал 1 простым числом. Сейчас математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам.)
  Эратосфен изобрел системный метод определения простых чисел путем отбора и отбрасывания чисел, имеющих делители, — все оставшиеся числа являются простыми. Этот метод впоследствии получил название решето Эратосфена и используется до сих пор, однако при работе с большими числами он неудобен, поскольку требуется слишком много времени, чтобы проверить наличие у них делителей.

• Слайд 6

  * * *
  Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а «выкалывали» цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название «решето Эратосфена».

• Слайд 7

  Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно два натуральных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа большие единицы разбиваются на простые и составные.
  Простое число

• Слайд 8

  Натуральное число

  Натура́льные чи́сла (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте .
  Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

  перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
  обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…).

  Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

  ***
  Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

• Слайд 9

  Составное число

  Составное число́ — натуральное число большее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, больших 1.

  ***
  Последовательность составных чисел начинается так:
  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …

• Слайд 10

  Как работать с Решетом Эратосфена?

  Итак, это алгоритм нахождения всех простых чисел не больше заданного числа N (пусть N=100)
  Следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:
  Выписать подряд все натуральные числа от 2 до N (число 2 в списке-простое)

  Как работать с Решетом Эратосфена?

• Слайд 11

  Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 2(каждое второе)

• Слайд 12

  Следующее невычеркнутое число 3 –простое.
  Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа, кратные 3(каждое третье)

• Слайд 13

  3. Следующее невычеркнутое число 5- простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 5 (каждое пятое) и т.д.

• Слайд 14

  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

  В результате все составные числа будут просеяны, а невычеркнутыми останутся все простые числа.

• Слайд 15

Посмотреть все слайды

Описание алгоритма

Наша цель — посчитать для каждого числа от в отрезке его минимальный простой делитель .

Кроме того, нам потребуется хранить список всех найденных простых чисел — назовём его массивом .

Изначально все величины заполним нулями, что означает, что мы пока предполагаем все числа простыми. В ходе работы алгоритма этот массив будет постепенно заполняться.

Будем теперь перебирать текущее число от до . У нас может быть два случая:

— это означает, что число — простое, т.к. для него так и не обнаружилось других делителей.

Следовательно, надо присвоить и добавить в конец списка .

— это означает, что текущее число — составное, и его минимальным простым делителем является .

В обоих случаях дальше начинается процесс расстановки значений в массиве : мы будем брать числа, кратные , и обновлять у них значение . Однако наша цель — научиться делать это таким образом, чтобы в итоге у каждого числа значение было бы установлено не более одного раза.

Утверждается, что для этого можно поступить таким образом. Рассмотрим числа вида:

где последовательность — это все простые, не превосходящие (как раз для этого нам понадобилось хранить список всех простых чисел).

У всех чисел такого вида проставим новое значение — очевидно, оно будет равно .

Почему такой алгоритм корректен, и почему он работает за линейное время — см. ниже, пока же приведём его реализацию.

Реализация

Сразу приведём реализацию алгоритма:

int n;
vector<char> prime (n+1, true);
prime = prime1 = false;
for (int i=2; i<=n; ++i)
	if (primei)
		if (i * 1ll * i <= n)
			for (int j=i*i; j<=n; j+=i)
				primej = false;

Этот код сначала помечает все числа, кроме нуля и единицы, как простые, а затем начинает процесс отсеивания составных чисел. Для этого мы перебираем в цикле все числа от до , и, если текущее число простое, то помечаем все числа, кратные ему, как составные.

При этом мы начинаем идти от , поскольку все меньшие числа, кратные , обязательно имеют простой делитель меньше , а значит, все они уже были отсеяны раньше. (Но поскольку легко может переполнить тип , в коде перед вторым вложенным циклом делается дополнительная проверка с использованием типа .)

При такой реализации алгоритм потребляет памяти (что очевидно) и выполняет действий (это доказывается в следующем разделе).

Работает

Он составил « Описание Греции» , краткое изложение завоеваний Александра и даже написал об аттической комедии .

Остались лишь несколько фрагментов, отредактированных на греческом языке:

— с трад. на латыни — Гюнтер Карл Фридрих Зайдель, Eratosthenis Geographicorum fragmenta , Göttingen, 1798 ( в Google Книгах );

• По меркам Земли  :
• География  :
  • А. Таламас, География Эратосфена , Париж, 1921.
  • (ru) География Эратосфена. Собранные и переведенные фрагменты , под ред. Греческий и традиционный. Англ. Дуэйн В. Роллер, Принстон и Оксфорд, 2010 г. ( ISBN  978-0-691-14267-8 ) .
• Созвездия (Катастеризмы)  : Эратостен (в переводе  Паскаль Шарве и Арно Цукер, постскриптум Жан-Пьера Брюне и Роберта Надаль), Le Ciel: Mythes et histoire des constellations. Les Catastérismes , Париж, Nil éditions,1998 г., 240  с. ( ISBN  978-2-84111-105-3 )

Ссылки [ править ]

1. ^ a b c Ролик, География Дуэйна В. Эратосфена. Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, 2010.
2. ^ a b c d e Руссо, Лучио (2004). Забытая революция . Берлин: Springer. С. 273–277.
3. ^ «Эратосфен (276–195 до н.э.)» . Cornell University. По состоянию на 28 июля 2019 г.
4. ^ «Запись ε 2898»
5. ↑ См. Также Азимов, Исаак. Биографическая энциклопедия науки и технологий Азимова , новое переработанное издание. 1975. Запись № 42, «Эратосфен», стр. 29. Pan Books Ltd, Лондон. ISBN 0-330-24323-3 . Это также утверждал Карл Саган на 31-й минуте его эпизода Космос» «Берега космического океана». 
6. ^ a b c d e Чемберс, Джеймс Т. «Эратосфен Киренский». в Dictionary Of World Biography: The Ancient World, январь 1998: 1–3.
7. ^ a b c Бейли, Эллен. 2006. «Эратосфен Киренский». Эратосфен Киренский 1–3. Документальная литература из собрания книг: выпуск для средней школы.
8. ^ Рист, JM «Зенон и стоическая последовательность», в Phronesis. Vol. 22, No. 2, 1977.
9. ^ Явления «Арата», «Клеомеда» О круговых движениях небесных тел «и» Введение в арифметику «Никомаха — Зритель — Мировая цифровая библиотека . www.wdl.org . Проверено 24 февраля 2021 .
10. ^ стр. 439 Т. 1 Уильям Вудторп Тарн Александр Великий . Vol. Я, Рассказ ; Vol. II, Источники и исследования . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1948 г. (новый редактор, 2002 г. (мягкая обложка, ISBN 0-521-53137-3 )). 
11. Перейти ↑ Russo, Lucio (2004). Забытая революция . Берлин: Springer. п. 68..
12. ^ Клеомед, Caelestia , i.7.49-52.
13. ^ Марсиан Капелла, De nuptiis Philologiae et Mercurii , VI, 598.
14. ^ Balasubramaniam, R. (10 августа 2017). История железного столба Дели . Книги Фонда. ISBN 9788175962781 — через Google Книги.
15. ^ «Астрономия 101 Specials: Эратосфен и размер Земли» . www.eg.bucknell.edu . Проверено 19 декабря 2017 .
16. ^ «Как Эратосфен измерил окружность земли?» . 3 июля 2012 г.
17. ^ Виллерс, Майкл (2009). Алгебра: x и y повседневной математики (изд. 2009 г.). Quid Publishing. С. 62–63. ISBN 978-1-4351-1400-5.
18. Перейти ↑ Rawlins, Dennis (1983). «Карта Эратостена-Страбона Нила. Является ли это самым ранним сохранившимся экземпляром сферической картографии? Предоставляла ли она арку 5000 стадий для эксперимента Эратостена?» . Архив истории точных наук . 26 (26): 211–219. DOI10.1007 / BF00348500 (неактивный 2021-01-13).
19. ^ Плиний, Naturalis Historia , XII $ 53.
20. ^ a b c Смит, сэр Уильям. «Эратосфен», в словаре греческой и римской биографии и мифологии . Анн-Арбор, Мичиган: Библиотека Мичиганского университета, 2005.
21. ^ Моррис, Терри Р. «Эратосфен из Кирены». в Энциклопедии древнего мира . Ноябрь 2001 г.
22. ^ 2011. «Эратосфен». База данных биографий Хатчинсона 1.
23. ^ Экерман, Крис. Рецензия на (DW) ролик «Эратосфен» География. Собранные и переведенные фрагменты с комментариями и дополнительными материалами. Классическое обозрение. 2011 г.
24. ^ «Эратосфен Кирены» . Ханская академия . Проверено 19 ноября 2019 .
25. ^ a b c Дикс, Д.Р. «Эратосфен», в « Полном словаре научной биографии» . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера, 1971.
26. ^ «Спросите астронома» . Крутой Космос . Архивировано из оригинала на 2014-07-30.
27. ^ Работа греческого ученого показывает полезность измерения «. Стандарт Manawatu , 19 июня 2012 г., 07, газета Source Plus
28. ^ Жумуд, Леонид. Платон как «Архитектор науки». в Phonesis . Vol. 43 (3) 1998. 211–244.
29. ^ Chondros, Томас Г. Архимед жизнь Работа и машина. в теории механизмов и машин . Vol.45 (11) 2010. 1766–1775.
30. ↑ Упоминается героем Александрии в его « Диоптре» . См. Стр. 272, т. 2, Избранные, иллюстрирующие историю греческой математики , тр. Айвор Томас, Лондон: William Heinemann Ltd .; Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета, 1957.
31. ^ Смит, Эндрю. «Афиней: Деипнософисты — Книга 7» . www.attalus.org .
32. ^ Запись Эратосфена в Словаре научной биографии (1971)

Суша размером с ладонь

Эратосфен первым высказал предположение, что если плыть от берегов Иберии (современной Испании) на запад, то можно достичь Индии.

Однако позже эта мысль показалась ученому безумной: он был убежден, что никто и никогда подобного не сделает, ибо «громадные размеры океана, окружающего нашу ойкумену, не позволят», — и ошибся. Его утверждение через множество столетий заставило задуматься Христофора Колумба, который бросил все и отправился на поиски Индии западным путем.

Карта Эратосфена: желтым цветом обозначена суша, голубым ― Мировой океан

Рассуждения о том, что представляет собой Земля, населенная людьми, Эратосфен подкрепил географической картой. Мир у ученого получился крохотным. В нем не было привычных нам Америки и Австралии. Эратосфен даже не мог предположить, что эти земли откроют лишь спустя 1,5 тыс. лет! Зато он весьма точно изобразил берега Средиземного моря, Персию, Скифию, чего до него никто никогда не делал. Кроме того, Эратосфен расчертил карту чем-то похожим на параллели и меридианы, а также показал контуры материков, обозначил горные хребты, реки, города и другие объекты.

Поделиться ссылкой

Литература

• Античная география. М., 1953.
• Дитмар А. Б. Родосская параллель. Жизнь и деятельность Эратосфена. М., 1965.
• Dutka J. Eratosthenes’ measurement of the Earth reconsidered. Archive for History of Exact Sciences, 46, 1993, p. 55-64.
• Fischer I. Another look at Eratosthenes’ and Posidonius’ determinations of the Earth’s circumference. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 16, 1975, p. 152-167.
• Goldstein B. R. Eratosthenes on the measurement of the Earth. Historia Mathematica, 11, 1984, p. 411-416.
• Rawlins D. Eratosthenes’ geodesy unraveled: was there a high-accuracy Hellenistic astronomy, Isis, 73, 1982, p. 259-265.
• Rawlins D. The Eratosthenes — Strabo Nile map. Is it the earliest surviving instance of spherical cartography? Did it supply the 5000 stades arc for Eratosthenes’ experiment?, Arch. Hist. Exact Sci, 26 (3), 1982, p. 211-219.
• Rawlins D. Eratothenes’s large earth and tiny universe. DIO, 14, 2008.

Жизнь [ править ]

Эратосфен, сын Аглаоса, родился в 276 г. до н.э. в Кирене . Теперь часть современной Ливии , Кирена была основана греками несколько веков назад и стала столицей Пентаполиса (Северная Африка) , страны , состоящей из пяти городов: Кирены, Арсинои , Береники , Птолемея и Аполлонии . Александр Великий завоевал Кирену в 332 г. до н.э., и после его смерти в 323 г. до н.э. ее правление перешло к одному из его полководцев, Птолемею I Сотеру , основателю Птолемеевского царства . При Птолемеях экономика процветала, в основном за счет экспорта лошадей и сильфия., растение, используемое в качестве приправы и лекарств. Кирена стала местом культивирования, где расцветали знания. Как и любой молодой грек того времени, Эратосфен учился в местной гимназии , где он изучал бы физические навыки и социальный дискурс, а также чтение, письмо, арифметику, поэзию и музыку.

Эратосфен учение в Александрии по Бернардо Строцци (1635)

Эратосфен отправился в Афины для продолжения учебы. Там он преподавал стоицизму его основатель, Зенон из Citium , в философских лекциях о том, как вести добродетельную жизнь. Затем он учился у Аристо Хиосского , который руководил более циничной школой философии. Он также учился под руководством главы Платонической академии , которым был Аркесилай Питанский . Его интерес к Платону привел к тому, что он написал свою первую научную работу « Платоник» , исследуя математические основы философии Платона. Эратосфен был человеком многих взглядов и исследовалискусство поэзии под Каллимами . Он писал стихи: одно в гекзаметрах под названием « Гермес» , иллюстрирующее историю жизни бога; и еще один в элегиях , названный Эригоной , описывающий самоубийство афинской девушки Эригоны (дочери Икария) . Он написал « Хронографии» , текст, в котором с научной точки зрения указаны важные даты, начиная с Троянской войны . Эта работа была высоко оценена за точность. Позже Георгию Синцеллу удалось сохранить из хронографий список 38 царей египетских Фив.. Эратосфен также написал « Олимпийские победители» , хронологию победителей Олимпийских игр . Неизвестно, когда он писал свои произведения, но они подчеркнули его способности.

Эти произведения и его великие поэтические способности привели фараона Птолемея III Эвергета к поиску места его библиотекарем в Александрийской библиотеке в 245 году до нашей эры. Эратосфен, которому тогда было тридцать, принял приглашение Птолемея и отправился в Александрию, где прожил всю оставшуюся жизнь. Примерно через пять лет он стал главным библиотекарем — должность, которую ранее занимал поэт Аполлоний Родий . В качестве главы библиотеки Эратосфен обучал детей Птолемея, в том числе Птолемея IV Филопатора.который стал четвертым фараоном Птолемея. Он расширил фонды библиотеки: в Александрии все книги нужно было сдавать для тиражирования. Было сказано, что они были скопированы настолько точно, что невозможно было сказать, вернула ли библиотека оригинал или копию. Он стремился сохранить репутацию Александрийской библиотеки, несмотря на конкуренцию со стороны Пергамской библиотеки . Эратосфен создал целый раздел, посвященный исследованию Гомера, и приобрел оригинальные произведения великих трагических драм Эсхила , Софокла и Еврипида .

Эратосфен внес несколько важных вкладов в математику и науку и был другом Архимеда . Около 255 г. до н.э. он изобрел армиллярную сферу . В О круговых движениях небесных тел , Клеомед приписывал ему рассчитав окружность Земли около 240 г. до н.э., с высокой точностью.

Эратосфен считал, что в каждой нации есть и хорошее, и плохое, и критиковал Аристотеля за то, что он утверждал, что человечество разделено на греков и варваров , а также за то, что он утверждал, что греки должны сохранять свою расовую чистоту. В возрасте около 195 г. до н.э. он заболел офтальмией и ослеп. Утрата способности читать и наблюдать за природой мучила его и подавляла, заставляя добровольно морить себя голодом. Он умер в 194 г. до н.э. в возрасте 82 лет в Александрии.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Определить составное или простое число 11723 .

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .

Отсюда видим, что 11723 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 11 723 109 2 . Отсюда следует, что 11723 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .

Ответ: 11723 является составным числом.

Поиски длины экватора

Одной из задач, которая в особенности интересовала древнегреческого мастера географии, был вопрос поиска длины окружности Земли. За основу своей теории, приведшей к удивительным для того времени результатам, исследователь взял то, что города Александрия и Сиена (ныне Асуан) расположены на одном и том же меридиане. Киренский ученый наблюдал за отношением угла падения лучей, отбрасываемых небесным светилом в день летнего солнцестояния в двух этих населенных пунктах, к поверхности земли.

В своем исследовании математик и географ пользовался гномоном — специальным устройством, изобретенным другим древнегреческим ученым Анаксимандром Милетским и позволяющим с высокой точностью определить момент астрономического полдня.

Многолетние наблюдения за светом и тенью позволили Эратосфену вычислить необходимый угол падения солнечных лучей. На основании полученных данных и произведенных с ними расчетов он высказал предположение, что фактическое расстоянием между Александрией и Сиеной равняется 785 км.

Соотнеся полученное расстояние и значение угла 1 к 50, определенное при помощи гномона, древний математик и географ смог совершить прорыв, узнав примерную длину экватора Земли, которая, согласно его подсчетам, составила около 39250 км. Согласно современным высокоточным измерениям, длина экватора равняется 40120 км.

Это великое открытие не только перевернуло античную географию, но и позволило Эратосфену прославиться за пределами своего места нахождения. Благодаря полученным данным ученый смог вычислить радиус земного шара, довольно точно определить фактическое расстояние между населенными пунктами в пределах одного материка и узнать, как далеко находятся Африка и другие континенты. Такой вклад в развитие античных представлений об окружающем мире невозможно не оценить.

Время работы и требуемая память

Хотя асимптотика лучше асимптотики классического решета Эратосфена, разница между ними невелика. На практике это означает лишь двукратную разницу в скорости, а оптимизированные варианты решета Эратосфена и вовсе не проигрывают приведённому здесь алгоритму.

Учитывая затраты памяти, которые требует этот алгоритм — массив чисел длины и массив всех простых длины примерно — этот алгоритм кажется уступающим классическому решету по всем статьям.

Однако спасает его то, что массив , вычисляемый этим алгоритмом, позволяет искать факторизацию любого числа в отрезке за время порядка размера этой факторизации. Более того, ценой ещё одного дополнительного массива можно сделать, чтобы в этой факторизации не требовались операции деления.

Знание факторизации всех чисел — очень полезная информация для некоторых задач, и этот алгоритм является одним из немногих, которые позволяют искать её за линейное время.

Посвящение Птолемею III

Надпись, сделанная Эратосфеном на мезолабе, которую он дал Птолемею III, гласила:

«Это у вас есть под рукой, друг, если вы хотите получить двойной маленький куб или это преобразование в любую другую твердую фигуру, а также если вы таким образом измерили ограждение или силос или вогнутую полость колодца, когда вы принимаете согласования значит между крайними пределами по двойным правилам ».

Затем он продолжил: «И не пытайтесь понять запутанные задачи цилиндров Архита или тройных разрезов конуса Менехма, или то, что изогнутая фигура божественного Евдокса описывает в своих строках, потому что в этих таблицах вы легко найдете тысячи средств, даже начиная с плохой старт ».

В конце концов он написал: «Счастливый отец, Птолемей, потому что с сыном вы наслаждаетесь возрастом! Все, что нравится Музам и королям, вы сами подарили своему сыну. А потом, Уранио Зевс, пусть скипетр твоей руки направит его. Так и случилось, и, увидев подношение, кто-то говорит: это работа киренейского Эратосфена ».

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а . Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 b 1 b было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · ( q 1 · q ) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · ( q 1 · q ) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а . Неравенство 1 b 1 b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а .

Простых чисел бесконечно много.

Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.

Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .

Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n _,получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.

Вместо заключения

При условии сохранности рукописей греческого мыслителя можно было бы составить более полную картину о том, кто такой Эратосфен. Однако история не предоставила современным людям такой возможности. Поэтому описания его изобретений собираются по трактатам и упоминаниям иных авторов.

Не менее загадочной является и жизнь Эратосфена. К сожалению, исторические источники донесли скудную информацию о яркой личности мыслителя и философа. Однако масштабы гения Эратосфена поражают и сегодня. А древнегреческий современник мыслителя Архимед, отдавая должное коллеге, посвятил ему свое творение «Эфодик» (или «Метод»). Эратосфен обладал энциклопедическими знаниями во многих науках, но ему нравилось, когда его называли филологом. Возможно, отсутствие общения с текстами во время болезни и привело его к голодной смерти. Но данный факт нисколько не умаляет заслуг гения Эратосфена.

Есть множество наук, объектом изучения которых выступает Земля и её природа. В этой статье речь пойдет об одной из них. и что она изучает? Кто и когда ввел в науку этот термин?